Phân tích thống kê dữ liệu

Thống kê mô tả và thống kê suy diễn

• Thống kê mô tả
  • Việc thu thập, đo lường, tóm tắt và mô tả dữ liệu liên quan đến một quần thể hoặc mẫu quần thể
  • Sử dụng các số đo xu hướng trung tâm (yếu vị, trung vị và số trung bình) và độ phân tán (khoảng, tứ phân vị, phương sai và độ lệch)
• Thống kê suy diễn: việc phân tích dữ liệu thu thập được từ một mẫu quần thể để đưa ra các suy luận về toàn bộ quần thể

Thống kê mẫu và tham số quần thể

• Thống kê mẫu: thống kê mô tả hoặc suy diễn sử dụng dữ liệu thu được từ một mẫu quần thể thay vì toàn bộ quần thể
• Tham số quần thể: các đặc điểm của toàn bộ một quần thể

Các số đo xu hướng trung tâm

• Định nghĩa: các số đo dùng để mô tả một giá trị phổ biến, điển hình của một tập dữ liệu (ví dụ: sự tập trung của dữ liệu tại một giá trị cụ thể)
• Cách tiếp cận: Loại số đo được sử dụng tùy thuộc vào cỡ mẫu.

Các số đo xu hướng trung tâm
Số đo	Định nghĩa	Ví dụ
Số trung bình (thống kê)	Trung bình cộng của tập dữ liệu Hạn chế: bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực đoan (giá trị ngoại lai)	Tổng của tất cả các giá trị chia cho số lượng giá trị trong tập dữ liệu. (Ví dụ: xét tập dữ liệu 3, 6, 11, 14, 16, 19. Giá trị trung bình là 11,5 (= 69/6).
Số trung vị (thống kê)	Giá trị nằm ở chính giữa của tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự độ lớn; nó chia tập dữ liệu thành nửa trên và nửa dưới Không bị ảnh hưởng nhiều bởi giá trị ngoại lai hoặc dữ liệu bị lệch	Số lượng giá trị lẻ: 3, 6, 11, 16, 19. Giá trị trung vị là giá trị ở chính giữa = 11. Số lượng giá trị chẵn: 2, 3, 5, 7, 9, 10. Giá trị trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa = (5+7)/2 = 6.
Số yếu vị (thống kê)	Giá trị xuất hiện phổ biến nhất trong một tập dữ liệu Ít bị ảnh hưởng nhất bởi các giá trị ngoại lai Có thể được sử dụng để mô tả dữ liệu định tính.	Trong tập dữ liệu có các giá trị “3, 6, 6, 11, 11, 11, 2, 2”, số yếu vị = 11.

Giá trị ngoại lai

• Định nghĩa: một điểm dữ liệu/quan sát nằm cách xa các điểm dữ liệu/quan sát khác trong một tập dữ liệu
• Vấn đề
  • Việc xác định các giá trị ngoại lai là rất quan trọng, vì chúng có thể chỉ ra các sai sót trong đo lường hoặc các bất thường về thống kê.
  • Số trung bình dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lai
• Cách tiếp cận
  • Sử dụng số trung bình cắt tỉa (trimmed mean): tính số trung bình bằng cách loại bỏ các giá trị cực trị trong tập dữ liệu và sử dụng các giá trị còn lại
  • Sử dụng số trung vị hoặc số yếu vị (mode): hữu ích cho dữ liệu không đối xứng; các số đo này không bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực trị vì chúng dựa trên thứ hạng của dữ liệu (số trung vị) hoặc giá trị xuất hiện phổ biến nhất (số yếu vị) thay vì điểm trung bình của tất cả các giá trị
  • Việc loại bỏ các giá trị ngoại lai cũng có thể làm sai lệch việc diễn giải dữ liệu. Việc này nên được thực hiện thận trọng nhằm phản ánh đúng tập dữ liệu tương ứng.
• Hồi quy về giá trị trung bình (Regression to the mean): một hiện tượng trong đó bất kỳ phép đo nào được thực hiện sau khi đo một biến ngẫu nhiên nằm ở mức cực trị (tức là trên hoặc dưới mức trung bình) có khả năng sẽ gần với mức trung bình hơn

Tổng quan

• Các thước đo độ phân tán là các thước đo thống kê mô tả sự biến thiên hoặc độ phân tán của dữ liệu nhằm xác định mức độ đồng nhất hoặc không đồng nhất của dữ liệu đó.
  • Ví dụ, hai công ty mỗi nơi có 10 nhân viên cùng có mức lương trung bình là 50.000 USD, nhưng công ty A có khoảng lương từ 10.000 USD đến 400.000 USD, trong khi công ty B có khoảng lương từ 40.000 USD đến 60.000 USD. Ở công ty A, một nhân viên kiếm được 400.000 USD và một người khác kiếm được 10.000 USD, 8 người còn lại có mức lương trung bình là 11.250 USD. Mặc dù có cùng mức lương trung bình, nhưng một nhân viên điển hình ở công ty B có mức lương thực tế cao hơn.
• Một số thước đo độ phân tán liên quan đến phân phối mẫu, trong khi một số khác liên quan đến phân phối chọn mẫu.
  • Phân phối mẫu
    • Định nghĩa: sự phân phối của các thông số quan sát được trong một mẫu cho trước
    • Ví dụ: phương sai, độ lệch chuẩn
  • Phân phối chọn mẫu
    • Định nghĩa: sự phân phối của các thông số thống kê mô tả (ví dụ: giá trị trung bình) của các mẫu khác nhau
    • Ví dụ: sai số chuẩn của giá trị trung bình, khoảng tin cậy

Các thước đo độ phân tán
Thước đo	Định nghĩa	Giải thích
Khoảng biến thiên (thống kê)	Sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong một tập dữ liệu Nhạy cảm với các giá trị dữ liệu cực đoan Giúp xác định một khoảng dữ liệu rộng hoặc hẹp bất thường, điều này có thể xảy ra do lỗi nhập liệu (ví dụ: dữ liệu thực chất thuộc về một quần thể nghiên cứu khác)	Trong tập dữ liệu “3, 4, 9, 27,” khoảng biến thiên là 24 (tức là 27-3).
Khoảng tứ phân vị	Khoảng từ tứ phân vị thứ hai đến tứ phân vị thứ ba. Được tính bằng cách xác định sự chênh lệch giữa bách phân vị thứ 75 và bách phân vị thứ 25 Ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị dữ liệu cực đoan (giá trị ngoại lai)	Được tính bằng hiệu số giữa bách phân vị thứ 75 và bách phân vị thứ 25
Tứ phân vị	Một phần tư của một tập dữ liệu	Mỗi tứ phân vị bao gồm 25% dữ liệu của quần thể. Tứ phân vị thứ nhất (tứ phân vị dưới): 25% tất cả các giá trị nhỏ hơn giá trị này. Tứ phân vị thứ ba (tứ phân vị trên): 75% tất cả các giá trị nhỏ hơn giá trị này.
Bách phân vị	Một giá trị trên thang điểm từ 1 đến 100 cho biết tỷ lệ phần trăm của một phân phối bằng hoặc thấp hơn giá trị đó	Biểu đồ tăng trưởng bao gồm các bách phân vị về chiều dài theo tuổi và cân nặng theo tuổi để giúp đánh giá sự phát triển của trẻ trong mối tương quan với các trẻ khác cùng độ tuổi. Nếu cân nặng của một đứa trẻ ở bách phân vị thứ 25 so với độ tuổi, đứa trẻ này nặng hơn 25% trẻ em trong cùng nhóm tuổi, nhưng nhẹ hơn 75% trẻ em cùng nhóm tuổi. Ví dụ: Bách phân vị thứ 3 (= phân vị 3/100): 3% tất cả các giá trị nhỏ hơn giá trị này. Bách phân vị thứ 50 (= phân vị 50/100): 50% tất cả các giá trị nhỏ hơn giá trị này (số trung vị). Bách phân vị thứ 97 (= phân vị 97/100): 97% tất cả các giá trị nhỏ hơn giá trị này. Giới hạn trên của mức bình thường (ULN): giá trị ở cực trên của khoảng tham chiếu (bách phân vị thứ 95) của quần thể đích Giới hạn dưới của mức bình thường (LLN): giá trị ở cực dưới của khoảng tham chiếu (bách phân vị thứ 5) của quần thể đích
Phương sai (thống kê)	Trung bình bình phương của các độ lệch so với số trung bình Được ký hiệu là σ2 (S2)	σ2 = tổng bình phương các độ lệch so với số trung bình chia cho tổng số quan sát Được tính bằng cách lấy giá trị của mỗi tập dữ liệu quần thể trừ đi số trung bình. Mỗi hiệu số sau đó được bình phương và cộng lại với nhau. Cuối cùng, tổng này được chia cho n-1.
Độ lệch chuẩn (SD)	Căn bậc hai của phương sai Mô tả tính biến thiên hoặc độ phân tán của dữ liệu trong mối tương quan với số trung bình của nó Được ký hiệu là σ (sigma; độ lệch chuẩn quần thể) hoặc s (độ lệch chuẩn mẫu)	Độ lệch chuẩn được tính bằng cách đầu tiên tính số trung bình. Số trung bình được trừ đi khỏi mỗi giá trị trong tập dữ liệu quần thể. Mỗi hiệu số được bình phương và cộng lại với nhau. Tổng này được chia cho tổng số giá trị của tập dữ liệu trừ 1. Căn bậc hai của giá trị này chính là độ lệch chuẩn (σ hoặc s). Trong một phân phối chuẩn 1 SD = 68% tập dữ liệu 2 SD = 95% tập dữ liệu 3 SD = 99,7% tập dữ liệu
Sai số chuẩn của số trung bình (SEM)	Độ lệch của số trung bình mẫu so với số trung bình quần thể Bị ảnh hưởng bởi độ lệch chuẩn (ví dụ: SD càng lớn thì sai số càng tăng) và kích thước mẫu (kích thước mẫu càng nhỏ thì sai số càng tăng)	SEM thực = σ/√(kích thước quần thể) SEM ước tính = s/√(kích thước mẫu)

• Định nghĩa
  • Biến số: là các giá trị đo lường được của các đặc tính quần thể hoặc một giá trị có thể thay đổi
  • Quần thể chung: nhóm mà từ đó các đơn vị quan sát được rút ra (ví dụ: tất cả bệnh nhân trong một bệnh viện)
  • Đơn vị quan sát: cá thể là đối tượng của nghiên cứu (ví dụ: cư dân của một vùng, một bệnh nhân)
  • Đặc tính: một đặc điểm của đơn vị quan sát (ví dụ: giới tính, mức độ hài lòng của bệnh nhân)
  • Giá trị đặc tính
    • Biến số có thể có bản chất là định tính (ví dụ: nam/nữ) hoặc định lượng (ví dụ: nhiệt độ: 10°C, 20°C)
    • Các biến định lượng có thể là biến rời rạc hoặc biến liên tục (không rời rạc) (xem phần “Xác suất” dưới đây).
• Các loại biến số
  • Biến độc lập: là biến không phụ thuộc vào các biến khác, do đó có thể được nhà nghiên cứu điều chỉnh nhằm phục vụ mục đích nghiên cứu
  • Biến phụ thuộc: là biến có giá trị phụ thuộc vào một biến khác, và vì vậy nhà nghiên cứu không thể điều chỉnh được
• Các loại biến định lượng
  • Biến rời rạc: các biến chỉ có thể nhận các giá trị là số nguyên
  • Biến liên tục (biến không rời rạc): các biến có thể nhận bất kỳ giá trị số thực nào
• Biến phân loại (biến định danh): các biến có một số lượng hữu hạn các nhóm mà có thể không có thứ tự logic nội tại
• Thang đo biến số
  • Định nghĩa: các loại thang đo lường (được chia thành thang đo phân loại và thang đo định lượng)
  • Thang đo phân loại (định tính)
    • Khoảng cách (khoảng) giữa hai nhóm là không xác định.
    • Bao gồm thang đo định danh và thang đo thứ bậc
  • Thang đo định lượng (số đo)
    • Khoảng cách giữa hai nhóm được xác định và dữ liệu có thể sắp xếp thứ hạng .
    • Bao gồm thang đo khoảng và thang đo tỉ lệ

Các loại thang đo
Loại thang đo	Đặc điểm	Số đo xu hướng trung tâm	Số đo độ phân tán	Phân tích thống kê	Minh họa dữ liệu
Thang đo định danh	Dữ liệu không thể xếp hạng	Yếu vị Tần suất tuyệt đối và tương đối	Không áp dụng	Các kiểm định phi tham số (ví dụ: kiểm định Mann-Whitney)	Biểu đồ hình tròn Biểu đồ cột
Thang đo thứ bậc	Dữ liệu có thể xếp hạng	Trung vị Tứ phân vị trên và dưới Bách phân vị	Khoảng biến thiên Khoảng tứ phân vị		Biểu đồ hình tròn Biểu đồ cột Biểu đồ hộp
Thang đo khoảng	Không có điểm 0 tuyệt đối.	Giá trị tối thiểu/tối đa Trung vị Tứ phân vị trên và dưới Bách phân vị Giá trị trung bình	Khoảng biến thiên Khoảng tứ phân vị Độ lệch chuẩn Phương sai	Các kiểm định tham số (ví dụ: kiểm định T)	Biểu đồ hình tròn Biểu đồ cột Biểu đồ hộp Biểu đồ phân phối tần suất (Histogram) Biểu đồ phân tán
Thang đo tỉ lệ	Có điểm 0 tuyệt đối.

Phân phối chuẩn (Đường cong hình chuông, phân phối Gaussian)

• Các phân phối chuẩn khác nhau tùy theo giá trị trung bình và phương sai, nhưng có cùng các đặc điểm sau:
  • Cùng một hình dạng cơ bản
  • Phân phối đơn đỉnh (tức là chỉ có một đỉnh)
  • Tiệm cận với trục x
  • Tính đối xứng (tức là đường cong hình chuông đối xứng)
  • Có thể đưa ra các giả định sau về phân phối dữ liệu:
    • Do tính đối xứng, một nửa số giá trị nằm dưới mức trung bình và nửa còn lại nằm trên mức trung bình.
    • 68% dữ liệu nằm trong khoảng 1 độ lệch chuẩn (SD) so với giá trị trung bình.
    • 95% dữ liệu nằm trong khoảng 2 SD so với giá trị trung bình.
    • 99,7% dữ liệu nằm trong khoảng 3 SD so với giá trị trung bình.
  • Tổng diện tích dưới đường cong = 1
  • Tất cả các số đo xu hướng trung tâm đều bằng nhau (trung bình = trung vị = yếu vị)
• Phân phối chuẩn tắc (Phân phối Z): là một phân phối chuẩn có giá trị trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1

Phân phối không chuẩn

Các loại phân phối không chuẩn
	Mô tả	Ý nghĩa
Phân phối lưỡng đỉnh	Tập dữ liệu có hai đỉnh (đỉnh = giá trị yếu thế/mode).	Có hai phân nhóm trong quần thể nghiên cứu (ví dụ: tỷ lệ mới mắc của u lympho Hodgkin có đỉnh thứ nhất ở độ tuổi 25–30 và đỉnh thứ hai ở độ tuổi 50–70)
Phân phối lệch dương (phân phối lệch phải)	Tập dữ liệu có đỉnh nằm ở bên trái và một cái đuôi dài kéo về phía bên phải (chiều dương). Giá trị trung bình nằm gần về phía đuôi bên phải hơn.	Giá trị trung bình > trung vị > yếu thế (mode)
Phân phối lệch âm (phân phối lệch trái)	Tập dữ liệu có đỉnh nằm ở bên phải và một cái đuôi dài kéo về phía bên trái (chiều âm). Giá trị trung bình nằm gần về phía đuôi bên trái hơn.	Giá trị trung bình < trung vị < yếu thế (mode)

Giá trị chuẩn tắc (Điểm Z, giá trị Z, điểm chuẩn hóa chuẩn)

• Cho phép so sánh các quần thể có giá trị trung bình và độ lệch chuẩn khác nhau
  • Giá trị chuẩn tắc = (giá trị - trung bình quần thể) chia cho độ lệch chuẩn
  • Là một phương pháp biểu diễn các điểm dữ liệu (ví dụ: chiều cao tính bằng centimet hoặc mét) theo cùng một thước đo (cụ thể là theo đơn vị độ lệch chuẩn của quần thể)
  • Xác định một giá trị quan sát nằm trên hoặc dưới giá trị trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn

Các số đo khuyến cáo

Các thước đo khuyến cáo theo phân phối
Phân phối	Các thước đo xu hướng trung tâm	Thước đo độ phân tán
Phân phối chuẩn (đối xứng)	Trung bình cộng Trung vị Yếu vị	Độ lệch chuẩn
Phân phối lệch (không đối xứng)	Trung vị	Khoảng giá trị hoặc khoảng tứ phân vị

Minh họa dữ liệu

Dữ liệu định danh (dữ liệu phân loại)

• Bảng tần suất
  • Trình bày các giá trị dữ liệu cho mỗi danh mục trong một bảng
  • Minh họa các giá trị nào trong tập dữ liệu xuất hiện thường xuyên
• Biểu đồ tròn
  • Mô tả tần suất của các danh mục trong một đồ thị hình tròn được chia thành các lát, với mỗi lát đại diện cho một tỷ lệ danh mục
  • Hữu ích để mô tả một số lượng nhỏ các danh mục và sự khác biệt lớn giữa chúng
• Biểu đồ cột
  • Mô tả tần suất của các danh mục bằng các cột tách biệt nhau (chiều cao/chiều dài của mỗi cột đại diện cho một tỷ lệ danh mục)
  • Hữu ích để mô tả nhiều danh mục thông tin (so với biểu đồ tròn)
  • Tần suất có thể được biểu diễn dưới dạng tuyệt đối hoặc tương đối.

Dữ liệu liên tục

• Biểu đồ tần suất (Histogram)
  • Histogram tương tự như biểu đồ cột nhưng hiển thị dữ liệu trên một thang đo định lượng.
  • Dữ liệu được nhóm thành các khoảng (intervals) được vẽ trên trục x.
  • Hữu ích để mô tả dữ liệu liên tục
  • Tương tự như biểu đồ cột, nhưng khác ở các điểm sau:
    • Được sử dụng cho dữ liệu liên tục
    • Các cột có thể được vẽ chạm nhau để minh họa cho tính liên tục của dữ liệu.
    • Các cột không thể thay đổi thứ tự.
• Biểu đồ hộp (Box plot)
  • Các tứ phân vị và trung vị được sử dụng để hiển thị dữ liệu số dưới dạng một chiếc hộp.
  • Hữu ích để mô tả dữ liệu liên tục
  • Hiển thị các đặc điểm quan trọng sau của dữ liệu:
    • Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
    • Tứ phân vị thứ nhất và thứ ba
    • Khoảng tứ phân vị
    • Trung vị
  • Giúp dễ dàng nhận biết nhanh các số đo xu hướng trung tâm, khoảng biến thiên, tính đối xứng và các giá trị ngoại lai
• Biểu đồ phân tán (Scatter plot)
  • Một đồ thị được sử dụng để hiển thị giá trị của (thông thường) hai biến dữ liệu, được vẽ trên trục ngang (trục x) và trục dọc (trục y) bằng hệ tọa độ Descartes, đại diện cho các giá trị dữ liệu riêng lẻ
  • Giúp thiết lập mối tương quan giữa biến phụ thuộc và biến độc lập
  • Giúp xác định mối quan hệ giữa các tập dữ liệu là tuyến tính hay phi tuyến tính

Kiểm định giả thuyết

Các loại giả thuyết

Hai giả thuyết loại trừ lẫn nhau (giả thuyết không và giả thuyết đối) được thiết lập.

• Giả thuyết không (H₀): Là giả định rằng không có mối liên hệ có ý nghĩa thống kê giữa hai biến số được đo lường (ví dụ: yếu tố phơi nhiễm và kết cục) hoặc không có sự khác biệt có ý nghĩa giữa hai quần thể nghiên cứu. Các kiểm định thống kê được sử dụng để bác bỏ hoặc chấp nhận giả thuyết này.
  • Giá trị không (Null value)
    • Một con số tương ứng với giả thuyết không
    • Giá trị không là 1 đối với các tỷ số (ví dụ: nguy cơ tương đối, tỷ số chênh) và là 0 đối với các hiệu số (ví dụ: nguy cơ quy trách, giảm nguy cơ tuyệt đối).
• Giả thuyết đối (H₁): Là giả định rằng có một mối liên hệ giữa hai biến số được đo lường (ví dụ: yếu tố phơi nhiễm và kết cục) hoặc có sự khác biệt có ý nghĩa giữa hai quần thể nghiên cứu. Giả thuyết này được thiết lập như một đối trọng của giả thuyết không. Các kiểm định thống kê được sử dụng để bác bỏ hoặc chấp nhận giả thuyết này.
  • Giả thuyết đối có hướng (kiểm định một phía - one-tailed): xác định hướng của mối liên hệ được kiểm định
  • Giả thuyết đối không hướng (kiểm định hai phía - two-tailed): chỉ phát biểu rằng có sự khác biệt trong mối liên hệ được kiểm định (không xác định hướng)

Phiên giải

• Kết quả chính xác
  • Giả thuyết không bị bác bỏ khi thực sự có mối liên hệ giữa hai biến số được đo lường.
  • Giả thuyết không được chấp nhận khi không có mối liên hệ giữa hai biến số được đo lường.
• Sai lầm loại I
  • Giả thuyết không bị bác bỏ trong khi nó thực sự đúng, và kết quả là giả thuyết đối được chấp nhận, mặc dù hiệu ứng quan sát được thực chất là do ngẫu nhiên (sai lầm dương tính giả - false positive error).
  • Mức ý nghĩa (tỷ lệ sai lầm loại I): xác suất xảy ra sai lầm loại I (ký hiệu là “α”)
    • Mức ý nghĩa được xác định bởi nghiên cứu viên chính trước khi tiến hành nghiên cứu.
    • Đối với các nghiên cứu y khoa/dịch tễ học, mức ý nghĩa α thường được thiết lập là 0,05 (α càng thấp, ý nghĩa thống kê càng lớn)
• Vấn đề so sánh đa biến (Multiple comparisons problem)
  • Khi nhiều giả thuyết được kiểm định đồng thời trên một bộ dữ liệu (ví dụ: dữ liệu của một thử nghiệm được kiểm định cho nhiều kết cục khác nhau), xác suất xảy ra sai lầm loại I sẽ tăng lên:
    • P₁= 1 - P₂
    • P₁= 1 - (1 - α)^m
      • P₁ = có ít nhất một kết quả có ý nghĩa trong m lần kiểm định
      • P₂ = không có kết quả nào có ý nghĩa trong m lần kiểm định; α = tỷ lệ sai lầm loại I
    • Ví dụ: khi kiểm định 20 giả thuyết trên một bộ dữ liệu, mỗi giả thuyết ở mức ý nghĩa α = 0,05, xác suất thu được ít nhất một kết quả có ý nghĩa do ngẫu nhiên có thể được tính như sau:
      • P(có ít nhất một kết quả có ý nghĩa trong 20 lần kiểm định với α = 0,05) = 1 - (1 - 0,05)²⁰)
      • P(có ít nhất một kết quả có ý nghĩa trong 20 lần kiểm định với α = 0,05) ≈ 1 - 0,36 = 0,64)
      • Đối với 20 giả thuyết độc lập được kiểm định đồng thời trên cùng một dữ liệu, mỗi giả thuyết với α = 0,05, xác suất xảy ra sai lầm loại I trong ít nhất một lần kiểm định là khoảng 64%.
  • Có các phương pháp để kiểm soát tỷ lệ sai lầm loại I khi so sánh đa biến; ví dụ bao gồm:
    • Hiệu chỉnh Bonferroni: giá trị α được chia cho số lần so sánh được thực hiện
    • Tỷ lệ phát hiện sai: kiểm soát tỷ lệ dương tính giả trong tập hợp các giả thuyết bị bác bỏ
  • Các kết quả không được hiệu chỉnh cho so sánh đa biến không nên được sử dụng để suy luận về hiệu quả điều trị hoặc đưa ra các quyết định lâm sàng nhằm tránh việc diễn giải các kết quả ngẫu nhiên là có ý nghĩa.
• Sai lầm loại II
  • Giả thuyết không được chấp nhận trong khi nó thực sự sai; và kết quả là giả thuyết đối bị bác bỏ mặc dù hiệu ứng quan sát được không phải do ngẫu nhiên (sai lầm âm tính giả - false negative error).
  • Tỷ lệ sai lầm loại II: xác suất xảy ra sai lầm loại II (ký hiệu là “β”)
  • Sai lầm loại I và sai lầm loại II có mối quan hệ nghịch biến; sự gia tăng của sai lầm này dẫn đến sự sụt giảm của sai lầm kia.
• Công suất thống kê: (1-β)
  • Xác suất bác bỏ chính xác giả thuyết không, tức là khả năng phát hiện ra sự khác biệt giữa hai nhóm khi thực sự có sự khác biệt
  • Là phần bù của tỷ lệ sai lầm loại II
  • Tương quan thuận với kích thước mẫu và mức độ lớn của mối liên hệ đang được quan tâm (ví dụ: tăng kích thước mẫu của một nghiên cứu sẽ làm tăng công suất thống kê của nghiên cứu đó)
  • Tương quan thuận với độ chính xác của phép đo
  • Theo quy ước, hầu hết các nghiên cứu hướng tới đạt được công suất thống kê là 80%.

• Giá trị p: xác suất để kết quả của một kiểm định thống kê cho trước sẽ cực đoan ít nhất bằng với kết quả thực tế quan sát được, với giả định rằng giả thuyết không là đúng
  • Được tính toán bằng các kiểm định thống kê khác nhau, tùy thuộc vào loại dữ liệu thu thập (ví dụ: kiểm định tham số)
  • Phiên giải: Giá trị p được so sánh với mức ý nghĩa (tức là mức alpha hoặc α-level), thường được thiết lập là 0,05.
    • p ≤ mức α: Mối liên hệ được coi là có ý nghĩa thống kê và H₀ bị bác bỏ.
    • Giá trị p không tương đương với xác suất H₀ là đúng, mà là xác suất thu được kết quả tương tự hoặc cực đoan hơn, giả sử rằng H₀ là đúng.
    • Giá trị p không thể được dùng để chứng minh H₁ mà dùng để chứng minh rằng dữ liệu quan sát được không nhất quán với H₀.
    • Khi thực hiện so sánh đa biến (ví dụ: phân tích phương sai - ANOVA), giá trị p phải được so sánh với mức α đã hiệu chỉnh để đảm bảo ý nghĩa thống kê thích hợp (ví dụ: mức α được hiệu chỉnh theo hiệu chỉnh Bonferroni)

“Lời buộc tội đã được đưa ra (Positive) nhưng bạn lại lờ đi (Negative)!” (sai lầm loại I (Alpha) là sai lầm dương tính giả và sai lầm loại II (Beta) là sai lầm âm tính giả)

“Ý nghĩa thống kê” không đồng nghĩa với “ý nghĩa lâm sàng.”

Tổng quan về các sai lầm

Tổng quan
Kiểm định thống kê	Giả thuyết không (H0) đúng	Giả thuyết không (H0) sai
Không bác bỏ H0	1-α	Sai lầm loại 2 (β)
Bác bỏ H0	Sai lầm loại 1 (α)	Công suất thống kê (1-β)

Xác suất

• Xác suất xảy ra của một biến cố (P)
  • Mô tả mức độ chắc chắn rằng một biến cố cụ thể sẽ xảy ra (ví dụ: việc gieo được mặt 6 được coi là biến cố khi tung một con xúc xắc. Khi tung xúc xắc, xác suất xảy ra biến cố 6 là 1/6)
  • P = số kết quả thuận lợi / tổng số kết quả có thể xảy ra
• Xác suất một biến cố không xảy ra (Q)
  • Mức độ chắc chắn rằng một biến cố cụ thể sẽ không xảy ra (ví dụ: việc gieo được mặt 6 được coi là biến cố khi tung một con xúc xắc. Khi tung xúc xắc, xác suất biến cố không xảy ra (gieo được mặt “1”, “2”, “3”, “4”, hoặc “5”) là 5/6)
  • Q = số kết quả không thuận lợi / tổng số kết quả có thể xảy ra HOẶC 1 - P

Xác suất thực tế của một biến cố không giống với tần suất quan sát được của biến cố đó.

• Xác suất của các biến cố độc lập: Xác suất của biến cố A không phụ thuộc vào xác suất của biến cố B và ngược lại. (ví dụ: màu mắt và ngày sinh là hai biến độc lập, với phân phối xác suất độc lập với nhau)
• Xác suất có điều kiện: xác suất biến cố A xảy ra với điều kiện biến cố B đã xảy ra
  • P(A|B) = P(A và B) / P(B)
    • P(B) = xác suất của biến cố B
    • P(A và B) = xác suất biến cố A và B xảy ra đồng thời
    • Ví dụ: xác suất ung thư phổi ở một người hút thuốc (A: xảy ra ung thư phổi; B: có hút thuốc)
      • Điều kiện cơ bản là cá nhân đó là người hút thuốc: P(B) = xác suất là người hút thuốc = số người hút thuốc / tổng quần thể
      • P(A và B) = xác suất vừa là người hút thuốc vừa bị ung thư phổi = số người hút thuốc bị ung thư phổi / tổng quần thể
      • Vì vậy, P(A|B) = xác suất ung thư phổi phát sinh ở một người hút thuốc = P(A và B)/P(B) = số người hút thuốc bị ung thư phổi / số người hút thuốc
• Quy tắc nhân
  • P(A và B): xác suất biến cố A và B xảy ra đồng thời
  • Quy tắc nhân được rút ra bằng cách sắp xếp lại công thức xác suất có điều kiện.
    • Đối với các điều kiện phụ thuộc: P(A và B) = P(B) × P(A|B)
    • Đối với các điều kiện độc lập: P(A và B) = P(B) x P(A)
  • Quy tắc nhân có thể được áp dụng cho một sơ đồ cây quyết định (một biểu diễn trực quan của tất cả các kết quả có thể xảy ra) để tính xác suất của một trong các nhánh (một kết quả cụ thể).
• Quy tắc cộng
  • P(A hoặc B): xác suất biến cố A hoặc B xảy ra
  • P(A hoặc B) = P(A)+ P(B) − P(A và B): xác suất biến cố A hoặc B xảy ra bằng tổng xác suất của biến cố A và B trừ đi xác suất chúng xảy ra đồng thời (xác suất không loại trừ lẫn nhau)
    • Ví dụ: xác suất một cá nhân có tiền sử nhồi máu cơ tim (biến cố A) hoặc đột quỵ (biến cố B) bằng xác suất tiền sử nhồi máu cơ tim P(A) cộng với xác suất tiền sử đột quỵ P(B) trừ đi xác suất tiền sử cả nhồi máu cơ tim và đột quỵ P(A và B)
    • Ví dụ: gặp một người mắc bệnh động mạch vành (CAD) HOẶC bị béo phì : 0,3 + 0,4 - (0,3 × 0,4) = 0,58
  • Nếu các biến cố loại trừ lẫn nhau (xác suất loại trừ lẫn nhau), P(A và B) = 0 và P(A hoặc B) = P(A) + P(B)
    • Ví dụ: Vì bất kỳ cá nhân nào cũng chỉ có một nhóm máu, xác suất có cả nhóm máu A và B là 0, và xác suất có nhóm máu A hoặc B là P(A) + P(B).
    • Ví dụ: Rút một quân Át hoặc một quân Đầm từ bộ bài 52 lá: 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13
• Định lý Bayes
  • Định lý Bayes được sử dụng để tính toán xác suất có điều kiện.
  • Định lý Bayes mô tả mối quan hệ giữa P(A|B) và P(B|A) :
    • P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B)

• Tổng quan
  • Khoảng tin cậy (CI) được tính toán bằng cách sử dụng dữ liệu từ một mẫu và đưa ra ước tính về giá trị thực của quần thể, điều mà không bao giờ có thể xác định được thông qua một thí nghiệm.
  • CI có thể được sử dụng để suy luận về ý nghĩa thống kê của các giá trị mẫu. CI và giá trị p có mối liên hệ với nhau và một trong hai có thể được sử dụng để xác định xem một kết quả có ý nghĩa thống kê hay không.
• Định nghĩa: là khoảng giá trị được ước tính chứa giá trị thực của quần thể với một mức tin cậy nhất định
  • Chỉ số Z (Z score) cho các khoảng tin cậy đối với dữ liệu phân phối chuẩn (xem Z score)
    • Chỉ số Z cho khoảng tin cậy 95% = 1,96
    • Chỉ số Z cho khoảng tin cậy 97,5% = 2,24
    • Chỉ số Z cho khoảng tin cậy 99% = 2,58
• Công thức: Công thức tùy thuộc vào loại dữ liệu mà khoảng tin cậy được tính toán (ví dụ: giá trị trung bình, tỷ lệ).
  • Đối với khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: giá trị trung bình +/- chỉ số Z x (sai số chuẩn của giá trị trung bình)
  • Đối với khoảng tin cậy cho tỷ lệ: p +/- chỉ số Z x (√p x (1 - p)/n)
  • Yêu cầu các giá trị sau:
    • Mức tin cậy (phụ thuộc vào mức alpha; nếu mức α = 5%, mức tin cậy là 95%) )
    • Giá trị đo lường mẫu
    • Sai số chuẩn của giá trị trung bình, yêu cầu kích thước mẫu (kích thước mẫu lớn hơn làm giảm sai số chuẩn, dẫn đến khoảng tin cậy hẹp hơn) và độ lệch chuẩn
• Diễn giải
  • Khoảng tin cậy mô tả loại giá trị nào? Các ví dụ bao gồm:
    • Giá trị trung bình (ví dụ: chiều cao của học sinh trong một lớp)
    • Sự khác biệt giữa giá trị trung bình của hai giá trị (ví dụ: sự khác biệt giữa chiều cao trung bình của học sinh lớp A và chiều cao trung bình của học sinh lớp B)
    • Nguy cơ tương đối (ví dụ: nguy cơ tương đối của ung thư phổi ở người hút thuốc so với người không hút thuốc)
    • Tỉ số odds (ví dụ: tỉ số odds của u hắc tố ở cư dân Hawaii so với cư dân Massachusetts)
  • Mức tin cậy là bao nhiêu?
    • Mỗi mức alpha có một CI tương ứng là (1 - α)%.
      • Mức alpha 0,05 tương ứng với khoảng tin cậy 95%.
      • Một mức alpha 0,01 tương ứng với khoảng tin cậy 99%.
  • Có so sánh nhiều khoảng tin cậy không?
    • Các CI không chồng lấp giữa hai nhóm biểu thị một sự khác biệt có ý nghĩa thống kê.
    • Các CI chồng lấp có thể cho thấy không có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê nhưng cũng có thể xảy ra trong trường hợp có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê.
  • Giá trị vô hiệu (null value) của hiệu ứng được kiểm tra là gì? Là 1 đối với các tỷ số (ví dụ: nguy cơ tương đối, tỉ số odds) và 0 đối với các giá trị chênh lệch (ví dụ: nguy cơ quy cho, giảm nguy cơ tuyệt đối)
  • CI có bao gồm giá trị vô hiệu không?
    • Nếu CI bao gồm giá trị vô hiệu (tức là 0 đối với các giá trị chênh lệch hoặc 1 đối với các tỷ số), kết quả không có ý nghĩa thống kê và giả thuyết không không thể bị bác bỏ.
    • Nếu CI không bao gồm giá trị vô hiệu, kết quả có ý nghĩa thống kê và giả thuyết không có thể bị bác bỏ. Do đó, nếu kết quả của một nghiên cứu có ý nghĩa thống kê, nghĩa là p-value < mức α, thì CI tương ứng sẽ không bao gồm giá trị vô hiệu.
  • Khoảng tin cậy rộng bao nhiêu?
    • CI càng rộng, kết quả của một phép kiểm tra thống kê cho trước càng ít ý nghĩa.
    • Kích thước mẫu lớn hơn thường dẫn đến CI hẹp hơn.
    • Một CI hẹp và có ý nghĩa thống kê thường cho thấy giá trị p nhỏ.

Ý nghĩa thống kê và ý nghĩa lâm sàng

• Ý nghĩa (trong dịch tễ học): xác suất thống kê cho thấy một kết quả không xảy ra chỉ do ngẫu nhiên
  • Ý nghĩa thống kê
    • Mô tả một kết quả thống kê thực sự (tức là kết quả được xác định bằng các kiểm định thống kê) mà không xảy ra do ngẫu nhiên
    • Nếu ý nghĩa thống kê cao, xác suất kết quả là do ngẫu nhiên sẽ thấp.
  • Ý nghĩa lâm sàng (trong dịch tễ học)
    • Mô tả một sự thay đổi quan trọng trong tình trạng lâm sàng của bệnh nhân, sự thay đổi này có thể hoặc không phải do một can thiệp được đưa vào trong một nghiên cứu lâm sàng
    • Nếu ý nghĩa lâm sàng cao, can thiệp đó có khả năng mang lại tác động lớn đến kết cục hoặc các chỉ số đo lường của bệnh nhân.
• Ý nghĩa thống kê và ý nghĩa lâm sàng không nhất thiết phải tương đồng. Một nghiên cứu có thể có ý nghĩa thống kê cao nhưng can thiệp được thử nghiệm lại không có bất kỳ tác động lâm sàng nào đến kết cục của bệnh nhân.

Tương quan và hồi quy

Tương quan

• Định nghĩa
  • Một thước đo về sự tương quan thống kê tuyến tính giữa các biến liên tục
  • Hệ số tương quan có thể nằm trong khoảng từ +1 đến -1.
• Ví dụ: y thay đổi như thế nào nếu x thay đổi?
• Cách diễn giải: Hệ số tương quan đo lường cường độ (tức là mức độ) và chiều (tức là mối quan hệ thuận hay nghịch) của một mối quan hệ tuyến tính (không yêu cầu quan hệ nhân quả).
  • Chiều của mối quan hệ: có thể là tương quan thuận hoặc tương quan nghịch (được xác định tương ứng bởi dấu cộng hoặc dấu trừ)
  • Cường độ của mối quan hệ
    • Mối quan hệ hoàn hảo: hai biến tuyến tính hoàn hảo và hệ số tương quan là +1 hoặc -1
    • Không có mối quan hệ tuyến tính: hệ số tương quan bằng 0
  • Xem thêm “hệ số tương quan Spearman“ và “hệ số tương quan Pearson.“

Hồi quy (trong dịch tễ học)

• Định nghĩa: quá trình xây dựng một mối quan hệ toán học giữa biến phụ thuộc (kết cục; y) và một hoặc nhiều biến độc lập (yếu tố phơi nhiễm; x)
• Hồi quy tuyến tính: một loại hồi quy trong đó biến phụ thuộc là biến liên tục
  • Hồi quy tuyến tính đơn
    • Một biến độc lập được phân tích
    • Nếu y có mối quan hệ tuyến tính với biến độc lập x, đồ thị biểu diễn mối quan hệ này sẽ có dạng một đường thẳng (gọi là đường hồi quy).
    • Trong trường hợp hồi quy tuyến tính đơn, phương trình của đường hồi quy là: y = mx + b, với m đại diện cho độ dốc của đường hồi quy, y là biến phụ thuộc, x là biến độc lập, và b là tung độ gốc (giá trị của y tại nơi đường thẳng cắt trục y)
  • Hồi quy tuyến tính đa biến: phân tích nhiều hơn 1 biến độc lập
• Hồi quy logistic: một loại hồi quy trong đó biến phụ thuộc là biến phân loại
  • Hồi quy logistic đơn: phân tích 1 biến độc lập
  • Hồi quy logistic đa biến: phân tích nhiều hơn 1 biến độc lập

Các kiểm định tham số

Các kiểm định tham số được sử dụng để đánh giá sự khác biệt có ý nghĩa thống kê giữa các nhóm khi mẫu nghiên cứu có phân phối chuẩn và cỡ mẫu lớn.

• Hệ số tương quan Pearson (r)
  • So sánh các biến mức khoảng
  • Tính toán cường độ và chiều ước tính của mối quan hệ giữa hai biến
  • Cách diễn giải
    • r luôn là một giá trị từ -1 đến 1.
    • Giá trị r dương = tương quan thuận
    • Giá trị r âm = tương quan nghịch
    • Giá trị r càng gần 1 (hoặc -1), mối tương quan giữa các biến được so sánh càng mạnh.
    • Hệ số xác định = r² (hệ số này có thể bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực đoan và cho biết tỷ lệ phương sai của một biến có thể được dự đoán bởi phương sai của một biến khác)
• Kiểm định t
  • Tính toán sự khác biệt giữa giá trị trung bình của hai mẫu hoặc giữa một mẫu và một quần thể hoặc một giá trị mục tiêu; đặc biệt khi cỡ mẫu nhỏ và/hoặc không biết phân phối của quần thể hoặc giá trị mục tiêu đó
  • Được sử dụng để xác định khoảng tin cậy của một phân phối t (một tập hợp các phân phối trong đó độ lệch chuẩn không được biết và/hoặc cỡ mẫu nhỏ)
  • Kiểm định t một mẫu
    • Cách diễn giải
      • Giá trị t có thể được phân loại theo bảng liệt kê các giá trị t và các phân vị tương ứng dựa trên số bậc tự do (df) và mức ý nghĩa (giá trị α).
        • |t| < giá trị tra bảng của t_df (1-α/2): không thể bác bỏ giả thuyết không
        • |t| > giá trị tra bảng của t_df (1-α/2): nên bác bỏ giả thuyết không
      • Ngoài ra, có thể tính toán các khoảng tin cậy của các quan sát mẫu và kiểm tra xem giá trị trung bình của quần thể (μ₀) có nằm trong khoảng tin cậy đó hay không.
    • Công thức: giá trị t = (trung bình mẫu - trung bình quần thể)/độ lệch chuẩn * √(n)
    • Điều kiện tiên quyết: phân phối chuẩn (phương sai được biết và phụ thuộc vào bậc tự do.)
    • Tính toán xem giá trị trung bình của mẫu có khác với giá trị trung bình của quần thể (μ₀) hay không
  • Kiểm định t hai mẫu
    • Tính toán xem giá trị trung bình của hai nhóm có khác nhau hay không
    • Điều kiện tiên quyết
      • Cả hai nhóm mẫu đều được rút ra từ cùng một quần thể và có cùng phương sai (nhưng chưa biết).
      • Sự khác biệt giữa các quan sát trong hai nhóm xấp xỉ theo phân phối chuẩn.
    • Công thức: giá trị t = (hiệu số trung bình giữa hai mẫu/độ lệch chuẩn) * √(n)
    • Cách diễn giải: Giá trị t được so sánh với bảng giá trị t để xác định xem sự khác biệt có ý nghĩa thống kê hay không (tương tự như kiểm định t một mẫu mô tả ở trên).
    • Kiểm định t không ghép cặp (kiểm định t mẫu độc lập)
      • Hai nhóm khác nhau được lấy mẫu tại cùng một thời điểm
      • So sánh sự khác biệt giữa giá trị trung bình của một biến kết cục liên tục của 2 nhóm này
      • Giả thuyết không là giá trị trung bình của hai nhóm này bằng nhau
      • Sự khác biệt có ý nghĩa thống kê sẽ bác bỏ giả thuyết không
    • Kiểm định t ghép cặp (kiểm định t mẫu phụ thuộc)
      • Cùng một nhóm được lấy mẫu tại hai thời điểm khác nhau
      • So sánh sự khác biệt giữa giá trị trung bình của một biến kết cục liên tục của nhóm này
      • Giả thuyết không là giá trị trung bình của nhóm bằng nhau tại hai thời điểm khác nhau này
      • Sự khác biệt có ý nghĩa thống kê sẽ bác bỏ giả thuyết không

Phân tích phương sai

• Tính toán xem có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê giữa ≥ 2 nhóm hay không bằng cách so sánh giá trị trung bình của chúng
• Mục tiêu là xác định xem có tác động có ý nghĩa thống kê của một hoặc nhiều biến độc lập lên một biến phụ thuộc (giá trị trung bình) hay không.
• Có thể xem như một phần mở rộng của kiểm định t (vốn chỉ có thể dùng để phân tích hai nhóm)
• ANOVA một chiều: đánh giá xem có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê trong giá trị trung bình của 1 biến độc lập hay không (ví dụ: chiều cao trung bình của phụ nữ tại các phòng khám A, B và C; biến độc lập là phòng khám, biến phụ thuộc là chiều cao)
• ANOVA hai chiều: đánh giá xem có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê trong giá trị trung bình của 2 biến độc lập hay không (ví dụ: chiều cao trung bình của phụ nữ và nam giới tại các phòng khám A, B và C tại một thời điểm; các biến độc lập là giới tính và phòng khám, biến phụ thuộc là chiều cao)

Mẹo nhớ: T-test (t có 1 âm tiết/ký tự ngắn) dùng để phân biệt 2 nhóm; ANOVA (tên dài hơn) có thể dùng cho 2 nhóm trở lên.

Các kiểm định phi tham số

Các kiểm định phi tham số được sử dụng để đánh giá sự khác biệt có ý nghĩa thống kê giữa các nhóm khi mẫu có phân phối không chuẩn và cỡ mẫu nhỏ.

• Hệ số tương quan Spearman
  • Tính toán mối quan hệ giữa hai biến theo thứ hạng của chúng
  • So sánh các biến mức thứ bậc
  • Cách diễn giải
    • Các giá trị cực đoan có ảnh hưởng tối thiểu đến hệ số Spearman.
    • Không chính xác tuyệt đối vì không phải tất cả thông tin từ tập dữ liệu đều được sử dụng.
  • Xem phần “Tương quan.”
• Kiểm định Mann-Whitney U
  • So sánh các thang đo thứ bậc, khoảng hoặc tỷ lệ
  • Tính toán xem hai mẫu được chọn độc lập có nguồn gốc từ cùng một quần thể và có phân phối và/hoặc trung vị giống nhau hay không
  • Ví dụ: so sánh hai nhóm học sinh trung học – một nhóm có điểm GPA trung bình là 4.2 và nhóm kia là 3.2 – để xác định xem cả hai có cùng đến từ một nhóm lớn hơn hay không.
• Kiểm định Wilcoxon (tổng thứ hạng và thứ hạng có dấu)
  • Kiểm định tổng thứ hạng (Rank sum test): so sánh giá trị trung bình giữa các nhóm có kích thước khác nhau
  • Kiểm định thứ hạng có dấu (Signed rank test): so sánh giá trị trung bình giữa các cặp điểm có thể ghép cặp; dùng thay thế cho kiểm định t một mẫu khi so sánh phép đo trước can thiệp với phép đo sau điều trị và giả thuyết không là điều trị không có tác dụng
• Kiểm định Kruskal-Wallis H
  • Là phần mở rộng của kiểm định Mann-Whitney U
  • So sánh nhiều nhóm bằng cách kiểm tra giả thuyết không (rằng không có sự khác biệt về trung vị giữa ít nhất hai nhóm)
• Kiểm định nhị thức
  • Xem xét liệu tần suất quan sát được của một sự kiện với kết quả nhị phân (ví dụ: sấp/ngửa, sống/chết) có khả năng xảy ra về mặt thống kê hay không
  • Ví dụ: nếu một đồng xu được tung 20 lần, nó có khả năng ra mặt ngửa khoảng 10 lần. Nếu chỉ có 9 lần ngửa, kết quả vẫn có thể chấp nhận được.
    • Nếu chỉ có 6 lần ngửa (p = 0.04), người ta sẽ tự hỏi liệu đồng xu có bị lệch hay không
    • Từ góc độ thống kê, kết quả tung đồng xu cần phải được nghi ngờ nếu ít hơn 25% số lần tung ra mặt ngửa vì xác suất của sự kiện đó là < 2.5%

Các kiểm định biến phân loại

Các kiểm định biến phân loại được sử dụng để đánh giá sự khác biệt có ý nghĩa thống kê giữa các nhóm với các biến phân loại (không có giá trị trung bình).

• Kiểm định Chi bình phương (kiểm định X² )
  • Được sử dụng để so sánh phân phối của hai biến phân loại
  • Kiểm định chi bình phương so sánh tỷ lệ trong hai hoặc nhiều tập hợp dữ liệu phân loại để xác định xem có sự khác biệt có ý nghĩa thống kê trong phân phối hay không (ví dụ: tỷ lệ bệnh nhân mắc bệnh phổi tại các phòng khám A, B và C tại một thời điểm nhất định hoặc tỷ lệ cá nhân bị tiểu đường trong bốn nhóm dân tộc khác nhau)
• Kiểm định chính xác Fisher
  • Cũng tính toán sự khác biệt giữa các tần suất trong một mẫu nhưng, khác với kiểm định Chi bình phương, nó được sử dụng khi mẫu nghiên cứu nhỏ
  • Cũng nhằm mục đích xác định khả năng các kết cục xảy ra là do ngẫu nhiên

“Chi-tegorical:” Kiểm định Chi bình phương được sử dụng cho các biến phân loại (categorical).